22 may 2018

Los cuatro espacios fundamentales de una matriz

Cada que se considera una matriz $A\in \mathbb{F}^{n,m}$, donde $\mathbb{F}$ puede ser $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, esta induce naturalmente dos aplicaciones lineales: $A:\mathbb{F}^{m}\to \mathbb{F}^{n}$ y $A^{\top}:\mathbb{F}^{n}\to \mathbb{F}^{m}$; las cuales permiten determinar cuatro subespacios vectoriales, dos subespacios vectoriales en $\mathbb{F}^{n}$ y dos subespacios vectoriales en $\mathbb{F}^{m}$, conocidos usualmente como espacio nulo, espacio fila, espacio nulo izquierdo y espacio columna de $A$ respectivamente; por lo tanto, el objetivo en esta ocasión es estudiar estos conjuntos y las relaciones entre ellos.

Para comenzar, veamos la definición de espacio nulo y de rango de una matriz $A$: el espacio nulo de la aplicación $A:\mathbb{F}^m\to \mathbb{F}^n$, es el conjunto $N(A)\subseteq \mathbb{F}^{m}$ dado por \begin{equation} N(A)=\{x\in \mathbb{F}^{n}:Ax=0\} \end{equation}; y el espacio columna o rango, es el conjunto $R(A)\subseteq \mathbb{F}^{n}$ dado por \begin{equation} R(A)=\{y\in \mathbb{F}^{n}:y=Ax, \forall\,x\in \mathbb{F}^{m}\}. \end{equation}

En la Figura (1) se muestra el espacio nulo y el espacio columna asociados con la matriz $A$. En este gráfico, se puede apreciar que para la función $A:\mathbb{F}^{m}\to \mathbb{F}^{n}$ el espacio nulo es un subconjunto de $\mathbb{F}^{m}$; mientras que, el espacio columna es un subconjunto de $\mathbb{F}^{n}$. Recuerda que la ecuación homogénea $Ax=0$, siempre tiene como solución trivial $x=0$. Esta propiedad implica que, $O_{_{\mathbb{F}^{m}}}\in \mathbb{F}^{m}$ también pertenece a $N(A)$ y $O_{_{\mathbb{F}^{n}}}\in \mathbb{F}^{n}$ también pertenece a $R(A)$.

Figura 1. El espacio nulo y el rango de la aplicación $A:\mathbb{F}^m\to \mathbb{F}^n$.

El lector puede observar que, realmente $A$ tiene «cuatro subespacios vectoriales» asociados que son $N(A)$, $R(A)$, $N(A^{\top})$ y $R(A^\top)$. Observe que, el espacio nulo y el espacio columna son subespacios de espacios diferentes; más precisamente, una matriz $A\in \mathbb{F}^{m,n}$ define las aplicaciones $A:\mathbb{F}^{m}\to \mathbb{F}^{n}$, $A^{\top}:\mathbb{F}^{n}\to \mathbb{F}^{m}$ y los conjuntos $N(A)$, $R(A^\top)\subseteq \mathbb{F}^{m}$ y $N(A^\top), R(A)\subseteq \mathbb{F}^{n}$.

En efecto, para ver que $N(A)$, $R(A)$, $N(A^{\top})$ y $R(A^\top)$ son subespacios vectoriales, recordemos que un subconjunto $U\subset \mathbb{F}^{m}$ es cerrado bajo combinaciones lineales, si para cada par de elementos $x,y\in U$ y todos los escalares $a, b\in \mathbb{F}$ se tiene que $ax+by\in U$.

Los conjuntos $N(A)$ y $R(A)$ son cerrados bajo combinaciones lineales; dado que, la función inducida por $A$ es una transformación lineal. En efecto, considere dos elementos arbitrarios $x_{_1}, x_{_2}\in N(A)$, entonces $Ax_{_1}=0$ y $Ax_{_2}=0$. Adicionalmente, para cualquier par de elementos $a,b\in \mathbb{F}$ se tiene: \begin{equation} A(ax_{_1}+bx_{_2})=aAx_{_1}+bAx_{_2}=0 \end{equation} de modo que, $(ax_{_1}+bx_{_2})\in N(A)$. Por consiguiente, $N(A)\subseteq \mathbb{F}^m$ es cerrado bajo combinaciones lineales. Análogamente, considere dos elementos $y_{_1}, y_{_2}\in R(A)$; esto es, existe $x_{_1}, x_{_2}\in \mathbb{F}^{m}$ tal que, $y_{_1}=Ax_{_1}$ y $y_{_2}=Ax_{_2}$. Entonces, para cualquier $a, b\in \mathbb{F}$ se tiene: \begin{equation} (ay_{_1}+by_{_2})=aAx_{_1}+bAx_{_2}=A(ax_{_1}+bx_{_2}) \Rightarrow (ay_{_1}+by_{_2})\in R(A). \end{equation} Por lo tanto, $(A)\subset \mathbb{K}^{n}$ es cerrado bajo combinaciones lineales.

En consecuencia, si $A=[A_{_{:1}},\dots, A_{_{:n}}]$, cualquier elemento $y\in R(A)$ puede ser expresado como $y=Ax$ para algún $x\in \mathbb{F}^{n}$; esto es, \begin{equation} y=Ax =[A_{_{:1}},\dots, A_{_{:n}}]\left[\begin{array}{c} x_{_1}\\ \vdots \\ x_{_n} \end{array}\right]=A_{_{:1}}x_{_1}+\cdots + A_{_{:n}}x_{_n}\in gen(\left\{A_{_{:1}}x_{_1},\dots, A_{_{:n}}x_{_n}\right\}). \end{equation} Es por esta razón que, el espacio columna y el rango son el mismo espacio. El lector puede verificar que cualquier elemento de la forma $y=A_{_{:1}}x_{_1}+\cdots + A_{_{:n}}x_{_n}$ es también un elemento de $R(A)$; por lo tanto, $y=Ax$.

El espacio nulo y el rango de una matriz cuadrada, caracterizan si la matriz es invertible o no; esto se establece en el siguiente resultado:

Teorema 1. Dada una matriz $A\in \mathbb{F}^{n,n}$, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
  • La matriz $A^{-1}$ existe;
  • $N(A)=\{0\}$;
  • $R(A)=\mathbb{F}^{n}$.

Veamos ahora algunas de las relaciones que existen entre los cuatro espacios asociados a un par de matrices $A$ y $B$, tales que, la matriz $B$ se pueda obtener mediante operaciones de fila sobre la matriz $A$. Asumimos entonces la siguiente notación: $A\stackrel{fila}{\longleftrightarrow}B$, para indicar que la matriz $A$ se puede transformar en la matriz $B$ mediante operaciones de Gauss sobre las filas de $A$. En tal caso, se tiene el siguiente teorema:

Teorema 2. Sean las matrices $A, B \in \mathbb{R}^{m,n}$, entonces:
  • $A\stackrel{fila}{\longleftrightarrow}B\Longleftrightarrow N(A)=N(B)$;
  • $A\stackrel{fila}{\longleftrightarrow}B\Longleftrightarrow R(A^\top)=R(B^\top)$.

Es fácil ver que este último resultado es verdadero; dado que, las operaciones de Gauss no cambian las soluciones de sistemas lineales; por lo cual, el sistema lineal $Ax = 0$ tiene exactamente las mismas soluciones de $x$ como el sistema lineal $Bx = 0$; es decir, $N (A) = N (B)$. La segunda propiedad también es cierta; ya que, las operaciones de Gauss en las filas de $A$, son equivalentes a las operaciones de Gauss sobre las columnas de $A^{\top}$. Ahora bien, es fácil ver que cada una de las operaciones de Gauss sobre las columnas de $A^{\top}$ no cambian el $R(A^{\top})$; por lo tanto, $R(A^{\top})=R(B^{\top})$.

Sin embargo, no podemos pensar que el párrafo anterior es suficiente para hacer una demostración del teorema. Veamos una presentación más detallada de las ideas anteriores. Una forma de hacerlo, es utilizar la multiplicación de matrices para expresar la propiedad en la cual las operaciones de Gauss no cambian las soluciones de sistemas lineales. Con esto, se puede probar lo siguiente: Si se tienen las matrices $A$ y $B$ de orden $n\times m$ relacionadas por las operaciones de Gauss en sus filas, entonces existe una matriz $G$ de orden $m × m$ invertible $GA = B$. La prueba de esta propiedad es simple; debido a que cada una de las operaciones de Gauss se asocia con una matriz invertible, $E$, llamada una matriz de Gauss elemental. Cada matriz de Gauss elemental es invertible, ya que cada operación de Gauss siempre se puede revertir. El resultado de varias operaciones de Gauss sobre una matriz $A$, es el producto de las matrices de Gauss elementales apropiadas en el mismo orden que se realizan las operaciones de Gauss. Si se obtiene la matriz $B$ de la matriz $A$, haciendo operaciones de Gauss dadas por matrices $E_{_i}$, para $i = 1,\dots k$, en ese orden, podemos expresar el resultado del método de Gauss de la siguiente manera: \begin{equation} E_{_k}\cdots E_{_1}A=B\hspace{0.5cm} G=E_{_k}\cdots E_{_1} \Longrightarrow GA =B. \end{equation} Donde cada matriz elemental de Gauss es una matriz invertible; y por lo tanto, $G$ también es invertible.

Considere dos matrices $A$ y $B$ de orden $m\times n$ que están relacionadas por operaciones de Gauss en sus filas; siendo así, existe una matriz $G$ de orden $m\times m$, tal que, $GA = B$. Esta observación es la clave para mostrar que $N(A) = N(B)$, ya que dado cualquier elemento $x \in N(A)$ \begin{equation} Ax=0\Longleftrightarrow GAx=0, \end{equation} donde la equivalencia se sigue del hecho de que $G$ es invertible. Entonces es simple (¡Lo simple es una provocación para que tú lo verifiques!) ver que: \begin{equation} 0=GAx=Bx \Longleftrightarrow x\in N(B). \end{equation} Así pues, se tiene que $N(A)=N(B)$. Ahora veamos la afirmación opuesta: Si $N(A)=N(B)$, significa que sus formas escalonadas reducidas $E_{_A}, E_{_B}$ son las mismas; es decir, $E_{_A}=E_{_B}$; esto significa que existen operaciones de Gauss en las filas $A$ que la transforman en la matriz $B$

Ahora mostraremos que $R(A^{\top})= R(B^{\top})$. Considere un elemento $x\in R(A^{\top})$, por lo tanto, existe un elemento $y\in \mathbb{F}^{m}$, tal que: \begin{equation} x=A^{\top}y = A^{\top}G^{\top}(G^{\top})^{-1}y=(GA)^{\top}\bar{y}=B^{\top}\bar{y},\hspace{0.5cm} \bar{y}=(G^{\top})^{-1}\bar{y} \end{equation} Veamos que dado un $x\in R(A^{\top})$, se puede decir que, $x\in R(B^{\top})$; esto es, $R(A^{\top})\subset R(B^{\top})$. La implicación opuesta se prueba de igual forma: Considere $x\in R(B^{\top})$, por ende existe $\bar{y}\in \mathbb{F}^{m}$, tal que: \begin{equation} x=B^{\top}\bar{y}=B^{\top}(G^{\top})^{-1}G^{\top}\bar{y}=(G^{-1}B)^{\top}y=A^{\top}y,\hspace{0.5cm} y=G^{\top}\bar{y}. \end{equation} De modo que, se ha mostrado que para cualquier $x\in R(B^{\top})$, por lo cual $x\in R(A^{\top})$; es decir, $R(B^{\top})\subset R(A^{\top})$; y en consecuencia, $R(A^{\top})=R(B^{\top})$. Ahora sí se asume que $R(A^{\top})=R(B^{\top})$; esto quiere decir que, cada fila de $A$ es una combinación lineal de las filas de $B$; que a su vez, significa que existen operaciones de Gauss sobre las filas de $A$ que transforman a $A$ en $B$; y por lo tanto, con eso se establece el resultado final del teorema 2.

Un argumento similar también dice que, $E_{_A^{\top}}=E_{_{B^{\top}}}$ sí y sólo sí $A^{\top}\stackrel{fila}{\longleftrightarrow} B^{\top}$. También se puede concluir que, $E_{_{A^{\top}}}=E_{_{B^{\top}}}$ es equivalente a $R(A)=R(B)$ y esto también es equivalente a $N(A^{\top})=N(B^{\top})$.

Otro resultado con respecto a la transpuesta de $A$ dice:

Teorema 3.Para cada matriz $A\in \mathbb{F}^{n,m}$ se cumple que $\dim R(A)=\dim R(A^{\top})$.
Sabiendo que una matriz se dice que es de rango completo, sí y sólo sí, $\dim R(A)=\min(m,n)$. Entonces podemos enunciar el siguiente teorema donde se establecen algunas de las relaciones principales de los cuatro espacios fundamentales:
Teorema 4. Si una matriz $A\in \mathbb{F}^{n,m}$ es de rango completo, entonces:
  • Si $m=n$, por lo tanto: \[\dim R(A)=\dim R(A^{\top})=n=m\Leftrightarrow \{0_{_{\mathbb{F}^{m}}}\}=N(A)=N(A^{\top})\subset \mathbb{F}^{m};\]
  • Si $n < m$, de forma que: \[\dim R(A)=\dim R(A^{\top})=n < m \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \{0_{_{\mathbb{F}^{m}}}\}\varsubsetneq N(A)\subset \mathbb{F}^{m},\\ \{0_{_{\mathbb{F}^{n}}}\}=N(A^{\top})\subset \mathbb{F}^{n};\end{array}\right.\]
  • Si $m>n$, siendo así: \[ \dim R(A)=\dim R(A^{\top})= m < n \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \{0_{_{\mathbb{F}^{m}}}\}= N(A)\subset \mathbb{F}^{m},\\ \{0_{_{\mathbb{F}^{n}}}\}\varsubsetneq N(A^{\top})\subset \mathbb{F}^{n}; \end{array}\right.\]

Recordemos que, el rango de una matriz $A$ es el número de pivotes columna de la matriz escalonada reducida $E_{_A}$ y que coincide con la dimensión de $R(A)$. Si una matriz $A$ de orden $m\times n$ tiene $rang(A)=n$, esto quiere decir dos cosas: Primero, $n\leq m$; y segundo, que cada columna de $E_{_A}$ tiene un pivote; es decir, que no hay variables libres en la solución de la ecuación $Ax=0$, y así $x=0$ es la única solución. Debido a esto, $N(A)=0$. Por otro lado, al estudiar $N(A^{\top})$ es necesario considerar dos casos: $n=m$ o $n < m$. Si $n=m$, entonces las matrices son cuadradas; debido a esto, se puede decir que no hay variables libres en la ecuación $A^{\top}y=0$; y por lo tanto, se concluye que $N(A^{\top})=0_{_{\mathbb{F}^{n}}}$. Por otra parte, si $n < m$ entonces hay variables libres en la solución de la ecuación $A^{\top}y=0$; y por ende, $\{0_{_{\mathbb{F}^{n}}}\}\varsubsetneq N(A^{\top})$. Si se tiene una matriz $A$ de orden $m\times n$ con $rang(A)=m$, note que $rang(A)=rang(A^{\top})$; esto quiere decir dos cosas: Primero que $m \leq n$; y segundo que cada columna de $E_{_A^{\top}}$ tiene un pivote. Esta última afirmación muestra que $A^{\top}$ es de rango completo; es decir, $N(A^{\top})=0$. Ya se han analizado todos los casos en que $n=m$; sólo falta analizar qué pasa cuando $m < n$. En este caso, hay variables libres en la solución de la ecuación $Ax=0$; por lo tanto, $\{0_{_{\mathbb{F}^{m}}}\}\varsubsetneq N(A)$.

Figura 2. Relaciones entre los cuatro espacios fundamentales de $A:\mathbb{F}^m\to\mathbb{F}^n$.

Para terminar, enunciamos el siguiente resultado que relaciona las dimensiones de los espacios nulos y el rango de una transformación lineal en espacios vectoriales de dimensión finita. Este resultado se suele llamar Teorema de la Nulidad y el Rango, donde la nulidad de una transformación lineal es la dimensión de su espacio nulo, y el rango es la dimensión de su espacio de columna. Este resultado también se le conoce como el Teorema de la Dimensión.

Teorema 4. Para cada transformación lineal $T:V\to W$ entre espacios vectoriales $V$ y $W$ se cumple que: \begin{equation} \dim N(T)+\dim R(T) = \dim V. \end{equation}

Si consideramos el producto punto de dos vectores $u, v\in \mathbb{F}^{m}$ como el producto matricial definido por $u\cdot v =u^{\top}v$; podemos observar lo siguiente: \begin{equation} Ax=\left[\begin{array}{c} A_{_{1:}}x\\ \vdots \\ A_{_{m:}}x \end{array}\right] \end{equation} Note que las filas $A$ son las columnas de $A^{\top}$, por lo tanto, $A^{\top}_{_{i:}}\cdot x= A_{_{i*}}x$ Si $x\in N(A)$, y por ende, se puede concluir que: $N(A)$ es el complemento ortogonal de $R(A^{\top})$,y por consiguiente, $N(A)\cap R(A^{\top})=\emptyset$. En otro orden de ideas, si la dimensión de $\dim R(A)=r$, entonces la dimensión del espacio nulo $\dim N(A) = m-r$; y $\dim R(A^{\top})=r$, luego $\dim N(A^{\top})=n-r$. Note que, $\dim N(A)\oplus R(A^{\top}) = m$ y $\dim N(A^{\top})\oplus R(A) = n$; es decir que, $ N(A)\oplus R(A^{\top})\cong \mathbb{F}^{m}$ y $N(A^{\top})\oplus R(A) \cong \mathbb{F}^{n}$. Estas relaciones se resumen en la Figura 2.

Bueno, ya nos hemos extendido lo suficiente por esta ocasión. Esperamos que aprovechen mucho este post.

Referencias